均值不等式的推广形式的英文

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柯西不等式的证明过程，要详细0

fuc3242062014.01.07浏览166次理工学科分享举报

fuc324206

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jiky72626

2014.01.07

jiky72626

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二维形式的证明 (a^2+b^2)(c^2+d^2) (a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2

≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]

证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)

≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|

≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)

=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2

=(a+c)^2+(b+d)^2

两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]

注：| |表示绝对值。

向量形式的证明 令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn)

m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos m,n =√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos m,n

∵cos m,n ≤1

∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)

注：“√”表示平方根。

一般形式的证明 (∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2

证明：

等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.................... 共n2 /2项

等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2 /2项

用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证

推广形式的证明

推广形式为 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)

证明如下

记A1=x1+y1+…，A2=x2+y2+…，….

由平均值不等式得

(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

……

上述m个不等式叠加得

1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…

即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…

即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

因此，不等式(*)成立.

（注：推广形式即为卡尔松不等式）

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